Sorozatok

Definíció: A pozitív egész számok halmazán értelmezett valós függvényeket számsorozatoknak, vagy röviden sorozatoknak nevezzük.

Másképp: a sorozat olyan függvény, melynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete pedig a valós számok részhalmaza.
Formálisan: bbN^+ right bbR

A sorozatok megadása

Rekurzív módon

Előnye, hogy gyakran könnyebben megfogalmazható a sorozat képzési szabálya ilyen módon.
Hátránya, hogy egy elem meghatározásához ismerni kell az őt megelőző tagok értékét is.

Például: a_1=2 és a_n=a_{n-1}+2

Általános taggal

Például: a_n={n-1}/n^2

Sorozatok tulajdonságai

Korlátosság

Definíció: Az {a_n} sorozat felülről korlátos, ha létezik olyan K szám, hogy a_n<=K minden n pozitív egész számra. Ekkor a K számott a sorozat egy felső korlátjának nevezzük.

Az {a_n} sorozat alulról korlátos, ha létezik olyan k szám, hogy k<=a_n minden n pozitív egész indexre. Ekkor a k-t a sorozat egy alsó korlátjának nevezzük.

Az {a_n} sorozat korlátos, ha alulról és felülről is korlátos.

Tétel: Ha az (delim{|}{a_n}{|}) sorozat korlátos, akkor az (a_n) sorozat is korlátos. …

Monotonítás

Def. Az (a_n) numerikus sorozat monoton növekedő, ha forall n in bbZ^+: a_n<=a_{n+1}

Def. Az (a_n) numerikus sorozat szigorúan monoton növekedő, ha forall n in bbZ^+: a_n<a_{n+1}

Konvergencia

Def_1 Az (a_n) sorozat konvergens, ha exists A in bbR : forall varepsilon>0, e in bbR-hoz találhatunk olyan pozitív egész küszöbindexet(n_varepsilon), amelytől kezdve (n>n_varepsilon) |a_n - A|<e.

Def_2 Az (a_n) sorozat konvergens, ha exists A in bbR, hogy A bármely kis környezetébe, a sorozatnak véges sok elem kivételével minden eleme beletartozik.

Tétel Egy konvergens sorozatnak létezik véges (A) határértéke.

Def. A nem konvergens sorozatot divergensnek nevezzük.

sorozat lehet

  • konvergens
  • végtelenbe divergáló
  • oszcillálva divergens

Torlódási pont és a konvergencia:

DEF. torlódási pont…

Tétel A sorozat pontosan akkor konvergens, ha egy torlódási pontja van.

Konvergencia kritériumok

A sorozatok konvergenciájának eldöntése a szemléletes definíció alapján is eléggé nehézkes, így hasznunkra válhat néhány jól kezelhető tétel.

Konvergencia szükséges feltétele: Ha a sorozat konvergens, akkor korlátos.

példa a tétel elégséges feltételként való hibás használatára: az (-1)^n sorozat korlátos, de nem konvergens.

Konvergencia elégséges feltétele: Ha a sorozat monoton és korlátos, akkor konvergens.

Konvergencia szükséges és elégséges feltételei:

  1. ha pontosan egy torlódási pontja van a sorozatnak.
  2. Cauchy-féle konvergencia kritérium szerint, ha a sorozat elemei egymáshoz közel vannak.

Cauchy-féle konvergencia kritérium: Az (a_n) sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha forall varepsilon>0-hoz exists n_varepsilon in bbZ^+ szám, amelyre teljesül, hogy ha n,m>n_varepsilon, akkor |a_n-a_m|<varepsilon.

Példa: a_1=1; a_2=2; a_n={a_{n-2}+a_{n-1}}/2 sorozat korlátos, nem monoton, de Cauchy-szerint konvergens.

Részsorozat

Definíció: Adott egy (an) sorozat és egy (bn) szigorúan monoton növekedő pozitív egész tagú (akár véges) sorozat. Ekkor az (a_{b_n}) sorozat az (an) egy részsorozata.

Tétel: Korlátos sorozatból mindig kiválasztható konvergens részsorozat.
Bizonyítás: Ha (an) véges, akkor valamelyik eleme végtelen sokszor szerepel. Ezek a tagok konvergens részsorozatot alkotnak. …

Tétel: Egy konvergens sorozat bármely végtelen részsorozata konvergens, és az eredeti sorozat határértékéhez tart. Bizonyítás:

Nevezetes sorozatok

Számtani sorozatok

Definíció: Bármely tag és az őt megelőző különbsége állandó. Ezt a különbséget d-vel szokás jelölni (differencia).

Mértani sorozatok

Definíció: Az olyan számsorozatot nevezzük mértani sorozatnak, amelyben bármelyik tagnak és az őt megelőzőnek a hányadosa állandó. Ezt a hányadost q-val szokás jelölni (quociens).

Fibonacci-féle sorozat

  • Megadása: a_1 = 1
    a_2 = 1
    a_n = a_{n-2}+a_{n-1}
  • Sok érdekesség van vele…
  • Pl: a pascal-háromszög bizonyos átlói Fibonacci sorozatok

Érdekes megjegyezni, hogy létezik zárt alakja is (Binet-formula).

F_n= {(1+sqrt(5))^n - (1-sqrt(5))^n}/{sqrt(5)cdot 2^n}

Az informatikában a rekurzív-algoritmusok egyszerű, ám annál számításigényesebb megoldást adnak, így ha lehet elkerüljük alkalmazásukat. A Binet-formula sem a legjobb megoldás, mert ez esetben viszont a lebegőpontos ábrázolás pontatlanságának probémájába ütközünk. (Keresd: Gyors-hatványozás algoritmusa.)

Hivatkozások

matematika/analizis/sorozatok.txt · Utolsó módosítás: 2012/08/28 10:06 (külső szerkesztés)
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
www.chimeric.de Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0